Высота правильной треугольной пирамиды равна 5 см. все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Апофема(высота грани), высота пирамиды(1-й катет)  и радиус вписанной  в основание окружности(2-й катет) образуют  прямоугольный треугольник.
Он будет равнобедренным 180- 90- 45=45  

Значит радиус вписанной  в основание окружности=5 см
гипотенуза( одновременно апофема грани)  5^2+5^2=√50

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник(так ка пирамида правильная- основание тоже "правильное")
r=a/(2√3) отсюда а=10√3
s грани 1/2*h *a =1/2*√50*10√3=25√6
s бок поверх= 75√6