Биссектрисы углов a и c треугольника abc пересекают его стороны в точках a' и c', а описанную окружность в точках a0 и c0 соответственно. прямые a'c' и a0c0 пересекаются в точке p. пусть o' - центр вписанной окружности в треугольник abc. докажите, что o'p || ac.

Построение:

Смотри рисунок на прикреплённом фото.

Дан отрезок АВ.

1. Из точек А и В радиусом R > 0,5 AB проводим дуги, пересесекающиеся в точках C и D.

2. Соединяем точки С и D прямой, пересекающей отрезок АВ в точке Е. Е - середина отрезка АВ. Мы разделили отрезок АВ на две равные части.

3. Из точек А и Е радиусом r < 0,5 АЕ проводим дуги, пересекающиеся в точках F и G. Из точек B и Е радиусом r < 0,5 BЕ проводим дуги, пересекающиеся в точках H и J.

4. Соединяем точки F и G прямой, пересекающей отрезок АВ в точке L. Точка L - середина отрезка AE. Мы разделили отрезок АE на две равные части. Соединяем точки H и J прямой, пересекающей отрезок АВ в точке N. Точка N - середина отрезка ВE. Мы разделили отрезок ВE на две равные части.

Точки Е, L и N делят отрезок АВ на 4 равные части.

Если все грани наклонены под одинаковыми углами, то высота пирамиды падает в центр вписанной окружности, то есть в точку О пересечения биссектрис треугольника.
Треугольник со сторонами 5, 12 и 13 - прямоугольный, угол С - прямой.
AC = 5; BC = 12; AB = 13
Периметр треугольника P = 5 + 12 + 13 = 30; площадь S = 5*12/2 = 30
Найдем радиус вписанной окружности.
r = OK = OM = ON = 2S/P = 2*30/30 = 2 см
Высота H = OD = 4√2 см
Апофемы, перпендикулярные к ребрам основания
DK = DM = DN = √(r^2 + H^2) = √(4 + 16*2) = √36 = 6 см
Площади боковых граней
S(ABD) = DN*AB/2 = 6*13/2 = 3*13 = 39 кв.см.
S(ACD) = DK*AC/2 = 6*5/2 = 3*5 = 15 кв.см.
S(BCD) = DM*BC/2 = 6*12/2 = 6*6 = 36 кв.см.
S(бок) = S(ABD) + S(ACD) + S(BCD) = 39 + 15 + 36 = 90 кв.см.