Впрямоугольном треугольнике авс уголс=90градусам, сд-высота треугольника, ас=5 см, св=10 см. чему равно отношение площадей треугольников асд и сдв?

Рассмотрим треугольники ВОЕ и DOC. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого:
- углы ВОЕ и DOC равны как вертикальные;
- углы ОВЕ и ODC равны, т.к. диагональ BD делит углы квадрата пополам.
Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон:
ВЕ : DC = BO : DO = 1 : 2, отсюда DO=2*BO
Рассмотрим треугольники DHF и ВНС. Они также подобны по первому признаку подобия:
- углы DHF и ВНС равны как вертикальные;
- углы HDF и HBC равны, т.к. диагональ BD делит углы квадрата пополам.
Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон:
FD : CB = DH : BH = 1 : 2, отсюда ВН=2*DH
Мы вывели, что DO=2*BO и ВН=2*DH. Диагональ BD можно представить так:
BD=BO+DO=BO+2*BO=3ВО или так:
BD=BH+DH=2*DH+DH=3DH
Тогда 3BO=3DH, BO=DH
Отрезок ВН можно представить так:
ВН=BO+OH. Зная, что BO=DH и ВН=2*DH, получаем:
2*DH=DH+OH, отсюда OH=DH
BO=DH, OH=DH, значит BO=DH=OH. 

∠АСR = ∠ACD + ∠RCD = ∠ABC + ∠BCR = ∠ARC ⇒ ΔACR - равнобедренный, AN⊥CR, CN = NR, АС = AR = 6

∠ВСК = ∠BCD + ∠KCD = ∠BAC + ACK = ∠BKC ⇒ ΔBCK - равнобедренный, BM⊥CK, CM = MK, BC = BK = 8

CM = MK , CN = NR ⇒ MN - средняя линия ΔKCR

В ΔАВС: АВ² = АС² + BC² = 6² + 8² = 100 ⇒ AB = 10

BR = AB - AR = 10 - 6 = 4 ,  KR = BK - BR = 8 - 4 = 4  ⇒  MN = KR/2 = 4/2 = 2

===========================================================

Пусть АС = a, BC = b, AB = c, тогда АС = AR = a, BC = BK = b

BR = AB - AR = c - a,  KR = BK - BR = b - (c - a) = a + b - c  ⇒ MN = (a + b - c)/2

Следует, что MN не просто отрезок, лежащий на средней линии ΔАВС, и что удивительно! но и равен радиусу вписанной окружности в ΔАВС

MN = r = (a + b - c)/2 = (6 + 8 - 10)/2 = 2

ответ: 2