Существует ли такая позиционная система счисления, в которой число 71 (записанное в данной системе счисления) является квадратом целого числа, записанного в этой же системе счисления?

Используем запись числа 71 по основанию n а развернутом виде.

Здесь a - некое число, квадрат которого равен 71.
Поскольку в записи числа 71 присутствует цифра семь, то система счисления в качестве основания может использовать число, не меньшее восьми.
Для n=8 под квадратным корнем получаем 7х8+1=57, корень из 57 не целый.
Для n=9 получаем 7х9+1=64, а корень из 64 целый и равен восьми.
Следовательно, система счисления девятиричная.