31. 1,2 * 3,6 + 5,78 = 4,32 + 5,78 = 10,1
32. 2,1 * 2,7 + 6,43 = 5,67 + 6,43 = 12,1
33. (3,7 − 5,9) : 0,4 = −2,2 : 0,4 = −5,5
34. (3,7 − 5,2) * 0,8 = −1,5 * 0,8 = −1,2
35. −7,1 + 7,68 : 1,2 = -7,1 + 6,4 = −0,7
36. −8,8 + 6,5 * 1,6 = -8,8 + 10,4 = 1,6
37. (2,3 − 5,9) : 40 = −3,6 : 40 = -0,09
38. (4,2 − 6,6) : 60 = −2,4 : 60 = −0,04
39. −7,5 + 15,3 : 1,5. = -7,5 + 10,2 = 2,7
40. −9,7 + 18,9 : 1,4 = -9,7 + 13,5 = 3,8
41. 9,2 − 9,6 : 1,5 = 9,2 - 6,4 = 2,8
42. 9,3 − 11,4 : 1,5 = 9,3 - 7,6 = 1,7
43. 8,1 − 7,68 : 1,2 = 8,1 - 6,4 = 1,7
44. 7,1 − 7,36 : 2,3 = 7,1 - 3,2 = 3,9
45. −1,8 + 8,16 : 2,4 = -1,8 + 3,4 = 1,6
46. 9,24 : 3,3 − 1,9 = 2,8 - 1,9 = 0,9
47. (3,1 − 0,47) : 0,1 = 2,63 : 0,1 = 26,3
48. (1,2 − 0,58) : 0,1 = 0,62 : 0,1 = 6,2
49. (−3,24 + 6,2) * 0,1 = 2,96 * 0,1 = 0,296
50. (−5,8 + 4,81) * 0,1 = −0,99 * 0,1 = −0,099
51. (4,7 − 7,4) : 0,4 = −2,7 : 0,4 = −6,75
52. (4,5 − 8,3) : 0,8 = −3,8 : 0,8 = −4,75
53. (3,7 − 6,3)* 0,8 = −2,6 * 0,8 = −2,08
54. (2,8 − 7,4) * 0,7 = −4,6 * 0,7 = −3,22
10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
Теорема 3. Если функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x) заданы в окрестности точки x0 принадлежит R, а в самой точке x0 имеют конечные производные, то функции lamda1 f1(x) +lamda2 f2(x), lamda1 принадлежит R, lamda1 принадлежит R, f1(x)f2(x), а в случае f2(x0)не равно0 и функции f1(x)/f2(x) также имеют в точке x0 конечные производные; при этом имеют место формулы
(lamda1 y1 +lamda2 y2)' = lamda1 y'1 +lamda2 y'2, (10.21)
(y1y2)' = y'1y2 + y1y'2, (10.22)
(10.23)
(в формулах (10.21)-(10.23) значения всех функций взяты при x = x0).
Прежде всего заметим, что в силу условий теоремы в точке x0 существуют конечные пределы
(дельтаy1/дельтаx) = y'1, (дельтаy2/дельтаx) = y'2.
Докажем теперь последовательно формулы (10.21)-(10.23).
1) Пусть y = lamda1 y1 +lamda2 y2; тогда
дельта y = (lamda1( y1 + дельтаy1) + lamda2( y2 + дельтаy2)) - (lamda1y1 + lamda2y2) = lamda1дельтаy1 + lamda2дельтаy2
и, следовательно,
дельтаy1/дельтаx = lamda1дельтаy1/дельтаx + lamda2дельтаy2/дельтаx.
Перейдя здесь к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.21).
2) Пусть y2 = y1y2; тогда
дельта y = ( y1 + дельтаy1)( y2 + дельтаy2)) - y1y2 = y2y1 + y2дельтаy1 + y1дельтаy2 + дельтаy1дельтаy2,
откуда
дельтаy1/дельтаx = y2дельтаy1/дельтаx + y1дельтаy2/дельтаx. (10.24)
Заметив, что в силу непрерывности функции f2 в точке x0 выполняется условие дельтаy2 = 0, и, перейдя в равенстве (10.24) к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.22).
3. Пусть f2(x0)не равно0, и y = y1/y2; тогда
следовательно,
Перейдя здесь к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.23). начало
Отметим, что из формулы (10.21) при y2 = 0 (так же, как и из формулы (10.22), когда функция y2 равна постоянной, а поэтому y'2 = 0) следует, что постоянную можно выносить из-под знака дифференцирования, т. е.
(lamday)' = lamday', lamda принадлежит R.
Пример. Вычислим производную функции tg x. Применяя формулу (10.23), получим
Итак,
(tg x)' = 1/cos2x.
Аналогично вычисляется
(ctg x)' = -1/sin2x.
Замечание. Поскольку dx = y'dx, то, умножая формулы (10.21)-(10.23) на dx, получим
d(lamda1 y1 +lamda2 y2) = lamda1dy1 +lamda2 dy',
d(y1y2) = y2dy1 + y1dy2,
