Найдите общий вид первообразных для следующих функций:

а) y = 7x

b) y = x6

c) y = 4x5 + 3x6 – 2x - 9

d) y = 1/х^2

а) Для функции y = 7x общий вид первообразной будет Y = (7/2)x^2 + C, где C - произвольная постоянная. Обоснование:

Мы знаем, что производная от x^n, где n - любое число, равна n * x^(n-1). В данном случае у нас n = 1.
Интегрируя производную, мы получаем первообразную функцию.
Интегрируя 7x^1, получаем (7/2)x^2, так как 1-1=0 и интеграл от x^0 равен x (текущая степень + 1 в знаменателе).

Добавляем постоянную C в конце, так как при взятии производной от константы, мы получим 0.

b) Для функции y = x^6 общий вид первообразной будет Y = (1/7)x^7 + C. Обоснование:

Аналогично первому случаю, интегрируем x^6, получаем (1/7)x^7.

Добавляем постоянную C в конце.

c) Для функции y = 4x^5 + 3x^6 - 2x - 9 общий вид первообразной будет Y = (3/7)x^7 + (4/6)x^6 - x^2 - 9x + C. Обоснование:

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности.

Интегрируя 4x^5, получаем (4/6)x^6.

Интегрируя 3x^6, получаем (3/7)x^7.

Интегрируя -2x, получаем -x^2.

Интегрируя -9, получаем -9x.

Добавляем постоянную C в конце.

d) Для функции y = 1/x^2 общий вид первообразной будет Y = -1/x + C. Обоснование:

Интегрируем 1/x^2.

Интеграл функции 1/x^2 равен -1/x, так как при интегрировании мы увеличиваем степень на 1, а затем делим на новую степень.

Добавляем постоянную C в конце.