Вычислите: log1/2 8; log1/2 1/4

Производной функции можно дать несколько определений.
Производная - это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента. 
В геометрическом смысле, это тангенс угла между касательной, проведенной в какой-либо точке графика, и осью икс.
В физике производной пройденного пути по времени является скорость.
Другими словами, производная показывает изменение значения функции при определенном изменении аргумента.
Δf это обозначение приращения функции, к примеру, возьмем функцию
у=x², дадим ей приращение Δх, тогда приращение функции будет равно:
Δf=f((x+Δx)²-f(x²)
Δf=x²+2xΔx+(Δx)²-x²=2xΔx+(Δx)²

решите уравнение:
(x+1)/x - √((x+1)/x) - 2  = 0
(x+1)/x - √((x+1)/x) - 2 + 1/4 - 1/4  = 0
(x+1)/x - √((x+1)/x) + 1/4  = 2 + 1/4
(√((x+1)/x)- 1/2)² = 9/4
√((x+1)/x)- 1/2 = ± √(9/4)
√((x+1)/x) = 1/2 ± 3/2
√((x+1)/x) ≠ -1
√((x+1)/x) = 2
(x+1)/x = 4
x+1 = 4x
1 = 3x
x = 1/3
решите неравенство:
(x-1)(x-2)/(x-3)>0
   _  1         +       2          _       3     +    
ooo>
x∈]1;2[∪]3;∞[
решите систему:
(1) {x/y+y/x=13/6
(2) {x+y=5 => y = 5-x подставим в (1)
x/(5-x)+(5-x)/x=13/6
(x²+(5-x)²)/(5-x)x=13/6
(x²+25-10x+x²)/(5x-x²)=13/6
(2x²-10x+25)/(5x-x²)=13/6
6(2x²-10x+25)=13(5x-x²)
12x²-60x+150=65x-13x²
25x²-125x+150=0
x²-5x+6=0  найдём корни квадратного уравнения
D = 25-24 =1
x1 = (5-1)/2 = 2 => y1 = 5-2 = 3
x1 = (5+1)/2 = 3 => y2 = 5-3 = 2