к задачям сделать чертежи 295;296;297

Л е м м а: Пусть -- сумма цифр числа . Тогда , если длина не превосходит . Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.

Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число как , а разность считаем в столбик, учитывая перенос единицы.

Теперь пусть дано число . Возьмем число , тогда его частное с первым числом равно . Умножим в таком случае на . Длина числа меньше для всех , кроме (что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме .

Ума палата, да ключ потерян. сколько голов  — столько умов. ум за морем, а смерть за воротом ум есть сладко съесть, да язык короток. сегодня счастье, завтра счастье  — помилуй бог, а ум-то где? как придет беда, не пойдет на ум и еда.учись доброму, худое на ум не пойдет. учись доброму, худое на ум не пойдет. хмель шумит  — ум молчит. вино с разумом не ладит. хорошая жизнь ум рождает, плохая и последний теряет. базар (торг) на ум наведет (ума даст, т. е. надоумит о ценах). богатство полюбится, и ум расступится.богатство ум рождает (или: ум дает).волос долог (у бабы), а ум короток. красота приглядится, а ум вперед пригодится.лишь бы пилось да елось, а дело на ум не шло.не купля учит, продажа.   убытки ум .один ум  — пол-ума; три ума  — полтора ума; два ума  — ум.первую пить  — здраву быть, вторую пить  — ум повеселить, утроить  — ум пилось бы да елось, да работа на ум не шла.полно пить, пора ум копить. душа дороже ковша.придет беда  — не пойдет на ум и еда.рубль  — ум; а два рубля  — два ума.рубль есть  — и ум есть; нет рубля  — нет и ума. товар полюбится  — ум расступится. торг любит волю, а ум простор.у него два чина: дурак и дурачина. ум истиною просветляется, сердце любовью согревается.