Доказать, что (17^n-1) делится нацело на 16 для любого - вопрос №1479058917116 от m18303 18.05.2020 15:29

Question

Математика: Доказать, что (17^n-1) делится нацело на 16 для любого натурального числа n. Подскажите

m18303 · Answer

Докажем методом математической индукции.

1) При n=1 выполнено $16~\vdots~ 16$ .

2) Предположим, что при n=k выражение $\Big(17^k-1\Big)~\vdots~16$

3) Докажем теперь при n=k+1

$17^{k+1}-1=17\cdot 17^k-1=\Big(17^k-1\Big)+16\cdot 17^k$

Первая скобка делится на 16 по предположению 2), а слагаемое $16\cdot 17^k$ очевидно делится на 16, следовательно и сумма этих слагаемых делится на 16. Следовательно, выражение $\Big(17^n-1\Big)~ \vdots~ 16$ для любых натуральных