Доказать, что существует бесконечно много таких натуральных чисел N, что число 4N^2+1 делится и на 5, и на 13

Пусть , тогда , то есть делится на 65, а значит, на 5 и на 13 одновременно.

Итак, для любого возьмем и получим, что делится и на 5, и на 13

Выберем N=65к+4, где к любое натуральное

Пошаговое объяснение:

чтобы число делилось на 5 надо, чтобы 2N заканчивалось на цифру 8 или 2,  т.е. 2N=10m+8.  тогда  4N^2+1=100m^2+160m+65

или 2N=10m+2 ,

Рассмотрим первый случай.

Нужно, чтобы 91*m^2+9m^2+156m+4m+65  делилось на 13.

Для этого

Нужно, чтобы 9m^2+4m делилось на 13.

или, то же самое, что

m*(9m+4) делилось на 13.

Выберем m=13*к

Итак  достаточно взять любое 2N=130к+8, где к любое натуральное.

N=65к+4