Преобразования алгебраических выражений. Урок

​

1) Вычитаемое делится нацело на 25, значит и уменьшаемое должно делиться на 25

ответ:  х-25 делится на 25  при  х=50, х=250

2) 312:4=78. Первое слагаемое делится нацело на 4, значит и х должен нацело делиться на 4.

ответ: 312+х делится на 4  при х= 16 и х=40

3) 213 на 9 нацело не делится, значит х должен делиться нацело на 9.

ответ: 213х делится на 9  при х=9, х=18.

4) 5 нацело на 7 не делится, значит х должен делиться нацело на 7.

ответ: 5х делится на 7  при х= 49, х= 28

5) 5618 на 10 не делится. Признак делимости на 10: число должно оканчиваться нулём. 8+2=10, значит х равен любому числу оканчивающемуся на 2.

ответ: 5618+х делится на 10  при х = 42, х= 65782

6) 543 не делится на 2. Признак делимости на 2: число должно оканчиваться на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8). Но по условию разность не должна делиться на 5, значит она не может оканчиваться на 0, по признаку делимости на 5. Остаются варианты 2, 4, 6,8. Значит число х должно оканчиваться на 1, (543-1=542), 9 (543-9=534), 7 (543-7=536), 5(543-5=538)

ответ: 543- х делится на 2 но не делится на 5 при х= 49, х=5

Запишем условия в виде следующих выражений:
a  = 5 * N + 4
a  = 7 * M + 1
где M и N - какие-то натуральные числа, отличные от нуля (т.к. при подстановке вместо одного их них нуля мы не сможем найти решение системы в натуральных числах)

Видим, что левые части равны, значит, равны и правые.
 
5 * N + 4 = 7 * M + 1
M = (5 * N + 3)/7

Зная, что M - натуральное, получаем, что минимальное N равно 5, а последующие получаются путем прибавления произвольного количества семерок.

При N = 5 получаем, что а = 29, при N = 12 получаем, что а = 64, а при N = 19 a равняется 99. Т.о. видно, что при росте N итоговые числа отличаются ровно на 35, а значит, эта разность никак не влияет на остаток отделения на 35. Получается, что остаток от деления а на 35 для любого N, определенного нами выше (т.е. 5 + K*7, где K - любое натуральное или ноль), равен остатку от деления а при N = 5.
29 / 35 = 0 * 35 + 29 в остатке.

ответ: остаток от деления числа а на 35 будет равен 29.