Пусть p и q — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0. Каждый раз она прыгает либо на pp вправо, либо на q влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального d < p + q найдутся два числа, посещённые лягушкой и отличающиеся ровно на d

1) Разложим числа на простые множители:

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5
Общие множители чисел: 2; 2; 2; 3

Чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители:
НОД (72; 120) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24

2) Разложим числа на простые множители:
792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11
1188 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 11
Общие множители чисел: 2; 2; 3; 3; 11

НОД (792; 1188) = 2 · 2 · 3 · 3 · 11 = 396

3) Разложим числа на простые множители:

924 = 2 · 2 · 3 · 7 · 11
396 = 2 · 2 · 3 · 3 · 11
Общие множители чисел: 2; 2; 3; 11

НОД (924; 396) = 2 · 2 · 3 · 11 = 132


Второе задание

1) Разложим числа на простые множители

70 = 2 · 5 · 7
56 = 2 · 2 · 2 · 7

Чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители добавить к множителям большего числа и перемножить их:
НОК (56; 70) = 2 · 5 · 7 · 2 · 2 = 280

2) Разложим числа на простые множители

792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11
78 = 2 · 3 · 13

НОК (78; 792) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11 · 13 = 10296

3) Разложим числа на простые множители

720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
320 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5

НОК (320; 720) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 2 · 2 = 2880


4) Разложим числа на простые множители.

840 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7
252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7

НОК (252; 840) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 3 = 2520

72 | 2                                     128 | 2

36 | 2                                     64 | 2

18 | 2                                      32 | 2

9 | 3                                        16 | 2

3 | 3                                         8 | 2

1                                               4 | 2

72 = 2³ · 3²                              2 | 2

                                                1

                                                128 = 2⁷

НОК = 2⁷ · 3² = 1152 - наименьшее общее кратное

НОД = 2³ = 8 - наибольший общий делитель

НОК : НОД = 1152 : 8 = 144 : 1 - отношение

ответ: 144.