5. В олімпіаді з математики взяли участь 30 учнів. Їм було запропоновано 8 задач. Спочатку журі перевірило роботи учасників, виставивши по кожній роботі оцінку «розв'язано» чи «не розв'язано». Потім для кожної задачі було визначено її вартість – натуральне число, що дорівнює кількості учасників, які її не розв'язали. Сума вартостей усіх задач, розв'язаних тим чи іншим учнем, склала його підсумкову оцінку. З'ясувалося, що Назар одержав оцінку, нижчу за всіх інших. Яку найбільшу оцінку він міг одержати?

A₅ = a₁ + d(5 - 1) =  a₁ + 4d.
По первому условию:
 a₁ + a₁ + 4d = 4, 
2a₁ + 4d = 4.
a₁ + 2d = 2. Отсюда a₁ = 2 - 2d.
По второму условию:
a₁ * (a₁ + 4d) = -32.
Заменим a₁ на 2 - 2d:
(2 - 2d)(2 - 2d + 4d) = -32,
(2 - 2d)(2 + 2d) = -32,
4 - 4d² = -32   сократим на 4,
1 - d² = -8,
d² = 1 + 8 = 9,
d = √9 = +-3. Примем первое значение d = 3. 
a₁ = 2 - 2*3 = 2 - 6 = -4,
a₅ =  a₁ + 4d = -4 + 4*3 = -4 + 12 = 8.
Проверяем условие: а₁ + а₅ = -4 + 8 = 4,
а₁*а₅ = (-4)*8 = -32.

Примем второе значение d = -3. 
a₁ = 2 - 2*(-3) = 2 + 6 = 8,
a₅ =  a₁ + 4d = 8 + 4*(-3) = 8 - 12 = -4.
Проверяем условие: а₁ + а₅ = 8 - 4 = 4,
а₁*а₅ = 8*(-4) = -32.

Оба варианта верны, значит задача имеет два варианта ответа.

Третий член прогрессии равен:
по первому варианту:
a₃ = a₁ + d(3 - 1) =  a₁ + 2d
а₃ = -4 + 2*3 = -4 + 6 = 2.

По второму варианту:
а₃ = 8 +2*(-3) = 8 - 6 = 2.

В обоих вариантах значения третьего члена прогрессии совпадают.

Что людям вздумалось расславлять, будто я хороша? “ говорила она, как бы рассеянно, для того только, чтобы об чем-нибудь поболтать с собою. „лгут люди, я совсем не хороша“. но мелькнувшее в зеркале свежее живое в детской юности лицо с блестящими черными очами и невыразимо приятной усмешкой, прожигавшей душу, вдруг доказали противное. „разве черные брови и очи мои“, продолжала красавица, не выпуская зеркала: „так хороши, что уже равных им нет и на свете. что тут хорошего в этом вздернутом кверху носе? и в щеках? и в губах? будто хороши мои черные косы? ух! их можно испугаться вечером: они, как длинные змеи, перевились и обвились вокруг моей головы. я вижу теперь, что я совсем не хороша! “ и, отдвигая несколько подалее от себя зеркало, вскрикнула: „нет, хороша я! ах, как хороша! чудо! какую радость принесу я тому, кого буду женою! как будет любоваться мною мой муж! он не вспомнит себя. он зацелует меня на смерть“"