АВСД - равнобокая трапеция . АВ=СД . Высота трапеции = h .
ВК=КС , АН=НД . ∠ВНС=2α , ∠АКД=2β . Найти S .
КН - отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.
ΔАВК=ΔДСК по 1 признаку ( АВ=СД , ВК=КС по условию, ∠В=∠С как углы в равнобедренной трапеции при основании) ⇒ АК=КД .
ΔАКН=ΔДКН по 3 признаку , так как АН=НД по усл., КН - общая , АК=КД ⇒ ∠АНК=∠ДНК=180°:2=90° , ∠АКН=∠ДКН=∠ВКД:2=2β:2=β
Поэтому КН ⊥ АД ⇒ КН=h .
Из ΔКНД : tgβ = НД/КН , tgβ = НД/h ⇒ НД = h · tgβ
Но НД=АН и АД = АН+НД = 2h · tgβ
Рассмотрим ΔВКН . Аналогично предыдущим выкладкам доказываем, что ∠ВНК = α , ∠ВКН=90° , tgα = BK/KH ⇒
BK = h · tgα ⇒ BC = BK+KC = 2h · tgα
Площадь трапеции равна
S=(AД+ВС) : 2 · КН = (2h · tgβ + 2h · tgα) : 2 · h = (h · tgβ+h · tgα) · h
S = h²· ( tgα + tgβ )
