При каких значениях а уравнение 1)имеет один корень 2)не имеет корней |2x-1|=a

1,При а = 0 
2, При любых отрицательных значениях. т.к. модуль - величина неотрицательная 

Число взятое по модулю, всегда положительное.
Например |-2| = 2, |5| = 5, |-48| = 48. Т.е. выражение которое стоит под модулем может быть и отрицательным и положительным (-2, 5, -48), а когда мы его взяли по модулю, оно только положительное (2, 5, 48).

1)

чтобы уравнение имело только один корень, необходимо, чтобы a = -a. Это возможно при a = 0.
2) |2x-1| не может быть отрицательным ⇒ при a < 0 уравнение не имеет корней