Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)= 4ax + |x^2-8x+12| больше 4

Квадратичная функция будет иметь наименьшее значение, если ветви параболы направлены вверх, т.е. достаточно раскрыть модуль только при x²-8x+12≥0.

f(x) = 4ax + x² - 8x + 12 = x² + (4a-8)*x + 12

m = - [4a-8]/2 = -(2a-4).

f[-(2a-4)] = (2a-4)² - 2(2a-4)² + 12 = - (2a-4)² + 12 > 4

(2a-4)² < 8 - это неравенство эквивалентно двойному неравенству

-2√2 < 2a - 4< 2√2

4 - 2√2 < 2a < 4 + 2√2

2 - √2 < a < 2 + √2.

ответ: при a ∈ (2-√2; 2+√2).