Некоторое натуральное число умножили на 2, а затем прибавили к нему 1, затем вновь умножили на 2 и прибавили 1, и так много раз. могло ли в результате получиться число, кратное 2012?

Нет

Пошаговое объяснение:

Пусть это число х. Тогда

(...х+1)*2+1)*2+1))*2+1 =2012*z (z - коэффициент кратности)

(...х+1)*2+1)*2+1))*2 = 2012*z-1

Слева - чётное число (т.к. что-то умножаем на 2), справа - нечётное (т.к. от чётного произведения отнимаем 1). Такого быть не может.