1) нaйдите пpoизводную функции f(x)=cos^2(3x)
2) нaйдите пpoизводную функции f(x)=корень 3 степени из 2x+4

А начнем мы с того, что расскажем о названии: “2 * 2 = 5”. Почему 5, а не 4.В математике существует такое понятие как софизм - это умышленно ложное утверждение, которое имеет видимость правильного и ошибка искусно замаскирована. В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они повышению строгости
математических рассуждений. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки. И.П. Павлов говорил, что и “правильно понятая ошибка - это путь к открытию”.

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что , получаем

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.