1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1. – Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол А равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1, докажем, что треугольники равны.
Пусть А1В2С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.
Так как А1В1 равно А1В2, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С1 равен углу В2А1С2, то луч А1С2 совпадет с А1С1. Так как А1С1 равен А1С2, то С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.
Теорема доказана.
2-ой признак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. - Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам - Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.
Пусть А1В2С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.
Так как А1В2 равно А1В1, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С2 равен углу В1А1С1, и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то луч А1С2 совпадет с А1С1, а В1С2 совпадет с В1С1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.
Теорема доказана.
3-ий признак равенства треугольников: по трем сторонам ( Теорема 3.6. - Признак равенства треугольников по трем сторонам - Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, АС равно А1С1, и ВС равно В1С1. Докажем, что они равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А1, угол В не равен углу В1, и угол С не равен углу С1. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.
Пусть А1В1С2 – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2 – равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы А1D и В1D – являются высотами, значит прямые А1D и В1D – перпендикулярны прямой С1С2. Прямые А1D и В1D не совпадают, так как точки А1, В1, D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.
Відповідь:
DS:SA=6:7.
Пояснення:
Виконаємо рисунок, для побудови перетину використаємо метод
внутрішнього проектування: (AQ)∩(PR)=O, (DO)∩(MK)=L, (NL)∩(AD)=S, де S – шукана точка перетину прямої (AD) площиною (MNK).
Зауважимо, що чотирикутник ARQP – паралелограм, а тому точка О є серединою обох його діагоналей. Розглянемо трикутник DPR: точки О і K є серединами своїх сторін, а тому PD||KO і PD=2·KO; з умови маємо, що MD=⅔·PD, а тому MD:KO=4:3. З подібності трикутників MDL i KOL маємо DL:OL=MD:KO, а тому DL:OL=4:3.
Розглянемо трикутник QAD, введемо афінну систему координат. Нехай точка Q(0;0) – початок координат, напрям вісі абсцис – від точки Q до точки А, нехай A(2;0), напрям вісі ординат – від Q до D, нехай D(0;4).
Тоді, з урахуванням умови, координати О(1;0), N(0;1).
Обчислимо координати точки L(x; y):
вектори DO(1;-4); DL(х; y- 4), причому DL=4/7 DO, а тому L (4/7;12/7). Вектор NL(4/7;5/7)||(4;5), а тому рівняння прямої NL x=4t; y=1+5t, tєR
Рівняння прямої (АD) за двома точками : (х-0)/(2-0)=(у-4)/(0-4) або
2x + y- 4= 0.
Знайдемо координати точки S =(NL)∩(AD), розв’язавши систему рівнянь:
2x + y- 4= 0;
x=4t; ⇒2*4t+1+5t-4=0 ⇒8t+5t=3 ⇒ 13t=3 ⇒ t=3/13;
y=1+5t.
x=4*3/13=12/13;
y=1+5*3/13=1+15/13=28/13.
Тобто S(12/13;28/13).
А тоді вектори DS(12/13;-24/13)=12/13*(1;-2); SA(14/13;-28/13)=14/13*(1;-2).
і шукане відношення DS:SA=6:7.
Відповідь: DS:SA=6:7.
