1. Відомо, що А(1; 0), В(0; 1), О(0; 0). Знайдіть координати вектора, що дорівнює (АО) ⃗ + (ВО) ⃗:
А) ( 1; 1); Б) (1; 0); В) (1; – 1); Г) (– 1; 1) Д) (0; 1)
2. Вектори a ⃗(2 – х; у +3; z – 5) та b ⃗ (5; 0; – 1) такі, що a ⃗ = b ⃗.
Знайдіть х + у + z.
А)– 6; Б) 4; В) – 2; Г) 10; Д) – 4.
3. Обчисліть значення n, при якому вектори a ⃗(n; 3) і b ⃗ (2; – 1) колінеарні.
А) – 1,5; Б) 3; В) 6; Г) – 6; Д) 1.
4. Знайдіть координати вектора n ⃗ = 1/2 (AB) ⃗ + (BC) ⃗ , якщо В(–1;2; 3), С(0; – 1; – 2), А(– 3; – 2; – 1).
А) ((0; -5; -7) ⃗); �) ((-2;1;3) ⃗) ; В) ((2;-1;-3) ⃗); Г) ((-3;1;2) ⃗)
5. Дано куб АВСДА1В1С1Д1. Нехай
(ВА) ⃗ = х ⃗, (ВС) ⃗ = у ⃗, (ВВ_1 ) ⃗ = z ⃗. Який із наведених векторів дорівнює вектору у ⃗ – х ⃗ – z ⃗ ?
А) (ДВ_1 ) ⃗ ; Б) (А_1 С) ⃗ ; В) (ВД_1 ) ⃗ ;
Г) (С_1 А) ⃗ ; Д) (А_1 Д) ⃗
6. Знайдіть скалярний добуток векторів а ⃗(– 1; 3;– 2) і с ⃗(0; –1; 5)
А) – 14; Б) – 13; В) 0; Г) 7; Д) 4.
7. Установіть відповідність між векторами (1-4) і їх довжинами (А-Д)
1). а ⃗(–1; 1; 0) А) 0
2). (АВ) ⃗, А(√2; 0; 1) , В((√2) ⃗; 1; 0) Б) 1
3). с ⃗(3; 0; 4) В) √2
4). (СС) ⃗, С(0; 5) Г) 2;
Д) 5.
10. У прямокутному трикутнику АВС катети АС і ВС відповідно дорівнюють 5 та 9. Знайдіть скалярний добуток векторів (ВА) ⃗ та (ВС) ⃗.
P.S. ХТО ЗРОБИТЬ СКИНУ НА КАРТУ 100 ГРИВЕНЬ

Объяснение:

По определению, две прямые параллельны, если существует плоскость в которой лежат две эти прямые, и они там параллельны. Отметим на данной прямой точки A и B. А точку обозначим как O. Пусть через точку О проходят две прямые параллельные AB. Пусть -- плоскость, содержащая одновременно и AB (эта плоскость существует из определения). Аналогично определяем плоскость . Заметим, что и проходят через точки O, A, B. Но по аксиоме через три точки, не лежащие на одной прямой проходит только одна плоскость. Значит плоскости = S совпадают. (назовём их общим именем S). Рассмотрим плоскость S: в ней лежат точки O, A, B и две прямые . Причем, проходят через точку O и параллельны AB. Но по аксиоме планиметрии (напомню, мы сейчас живем в плоскости S для которой выполнены все аксиомы планиметрии) через точку O может проходить лишь одна прямая, параллельная AB. Значит , ч.т.д.

а)

проекция Точки A на плоскость (A1B1C1)=A1, проекция точки D=D1, значит проекция отрезка AD=A1D1.

Отрезок A1D1║B1C1 из свойств правильного шестиугольника, и A1D1║AD так как плоскость (ABC)║(A1B1C1) значит AD║B1C1 Ч.Т.Д.

б)

Рассмотрим треугольник A1B1C1, опустим высоту A1H на основание B1C1, AH Также будет ⊥B1C1 по теореме о трех перпендикулярах, значит AH искомое расстояние.

AA1 будет ⊥A1H так-как он ⊥ плоскости (A1B1C1).

найдем A1H методом площадей в треугольнике A1B1C1.

$$\begin{lgathered}S=\frac{1}{2} A_1B_1*B_1C_1*sin(120)=\frac{1}{2} B_1C_1*A_1H\\a^2*sin(120)=a*A_1H\\A_1H=a*sin(180-60)=a*sin(60)=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{lgathered}$$

A1H также можно было найти рассмотрев треугольник A1BH, сказав что A1H=A1B1*sin(60)

теперь по теореме пифагора найдем AH:

$$AH=\sqrt{A_1H^2+AA_1^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$$

ответ: $$AH=\frac{a\sqrt{7}}{4}$$