В прямоугольном треугольнике с прямым углом В известно, что катет ВС равен 6 см, а внешний угол при вершине С равен 120°. Найдите длину гипотенузы АС.
1. рис
2. Дано:
3. Найти:
4. Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой  проведена. 

S=a•h:2

• Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Высота ∆ ADC и ∆ ABC общая. 

Подробно.

S(ABD):S(ABC)=AD:AC

Точка D по условию делит АС в отношении 1:5. 

Примем AD=a, тогда DC=5a. 

AC=а+5а=6a 

S(ABD):A(ABC)=1/6

S(ABC)=36

S(ABD)=36:6=6 см²

-----------

Площадь треугольника можно найти и по формуле 

S=a•b•sinα:2,  где a и b стороны треугольника, α - угол между ними. 

Угол А общий для ∆ABD и ∆ABC, поэтому 

S (ABD):S (ABC)=AB•AD:AB•AC, т.е. получается то же отношение AD:AC, равное для данного треугольника 1/6.

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу Описанной около него окружности. Соединим концы стороны шестиугольника с центром окружности. Получим правильный треугольник. Площадь правильного треугольника равна S=(√3/4)*R². Таких треугольников 6.
В нашем случае S=6√3дм².
Или:
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Высота правильного треугольника по Пифагору равна √(а²-а²/4)=а√3/2.
Тогда его площадь равна S=(1/2)*a*a√3/2 или S=a²√3/4. Вот мы и вывели формулу. далее, как уже было сказано: площадь шести таких треугольников равна а²√3*3/2. а=2дм. S=6√3дм²
ответ: S=6√3 дм²