Площадь трапеции ABCD равна 44, а длина меньшего из ее оснований BC относится к длине большего основания AD как 4:7. Диагонали трапеции пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника ABK.

Нужно найти углы ВОА и ВОС.
Находим внутренний угол В треугольника АВС:
<B=180-78=102°
Это наибольший угол треугольника (на углы А и С приходится всего 180-102=78°). Против большего угла лежит большая сторона треугольника. Значит, искомые углы ВОА и ВОС.
Поскольку ВО - биссектриса, то угол ОВA равен:
<OBA= 102:2=51°
Зная внешний угол при вершине А, находим внутренний угол треугольника:
<A=180-150=30°
Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, находим угол ВОА в треугольнике АВО:
<BOA=180-<OBA-<A=180-51-30=99°
<BOC=<AOC-<BOA=180-99=81°

При симметрии относительно плоскости ОХУ координаты х и у точки не изменятся, а координата z поменяет знак на противоположный, так как симметричная точка будет находиться на таком же расстоянии от плоскости ОХУ, но с другой стороны.

Тогда центр сферы, точка с координатами (4; –2; 1) перейдёт в точку с координатами (4; –2; –1).

Уравнение сферы: (х – а)² + (у – b)² + (z – c)² = R²

(a; b; c) – координаты центра сферы, R – радиус сферы.

Тогда уравнение сферы с центром в точке с координатами (4; –2; –1) и радиусом 3 см примет вид:

(х – 4)² + (у + 2)² + (z + 1)² = 3²

(х – 4)² + (у + 2)² + (z + 1)² = 9

Найдём объём шара:

V = 4/3∙πR³

V = 4/3∙π·3³ = 4∙π·9 = 36π