Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых
относятся как 2 : 7 : 0 Найдите радиус окрулености, если большая из сторон равна 30,​

Не скажу, что это доказательство в виде теоремы. Скорее объяснение, которое легко запомнить и передать затем своими словами.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если  стороны многоугольника являются  для неё касательными.
Очевидно, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность.  
Но всякий многоугольник можно разделить на треугольники.
А площадь треугольника можно найти половиной произведения стороны на высоту, проведенную к ней. 
S=0,5*h*a, где а - сторона треугольника, h- высота к ней.
Для многоугольника его площадь - сумма площадей всех треугольников, на которые его можно разделить:
S=S₁+S₂+ S₃ и т.д
Высоты треугольников, на которые можно разделить описанный многоугольник, равны радиусу вписанной окружности, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания. .
Тогда
S=0,5*a₁*r+0,5*a₂*r+0,5*a₃* r+0,5*a₄*r и т.д.
Вынесем общий множитель 0,5r за скобки⇒
S=r*0,5*(a₁+a₂+a₃+a₄+ an)
Ясно, что 0,5*(a₁+a₂+a₃+a₄+an) - это полупериметр многоугольника Теперь можно площадь многоугольника, в который вписана окружность, записать как 
S=r*p, где r- радиус вписанной в многоугольник окружности, р- полупериметр этого многоугольника. Что и требовалось доказать. 
-----
[email protected]

Так как прямые, разделяющие треугольник на равные по площади фигуры, параллельны стороне, то они делят его на 1 треугольник и 4 трапеции.
 Площадь каждой из получившихся фигур, а, значит, и площадь треугольника, по условию равна 1/5 площади исходного треугольника. 
Площадь правильного треугольника находят по формуле 
S=(a²√3):4 
S=(100√3):4=25√3 
Тогда площадь треугольника, периметр которого нужно найти, равна
S:5= 5√3 
Найдем его сторону из формулы площади правильного треугольника: 
5√3=(a²√3):4 
20=a² 
a=√20=2√5 см 
Р=3*2√5=6√5