1.
Пусть ∠1=х°, тогда ∠2=(42+х)°, что в сумме составляет 180° по определению смежных углов. Составим уравнение:
х+42+х=180; 2х=138; х=69.
∠1=∠3=69°; ∠2=∠4=69+42=111°.
2. Дано: ∠ВМК и ∠АМК - смежные, МС - биссектриса ∠АМК. Найти ∠СМК и ∠СМВ.
Пусть ∠ВМК=х°, тогда ∠АМК=5х°, что в сумме составляет 180°.
х+5х=180; 6х=180; х=30.
∠ВМК=30°, ∠АМК=30*5=150°
∠СМК=1/2 ∠АМК = 150:2=75°
∠СМВ=∠СМК+∠ВМК=75+30=105°
3. Дано: АВ и СD - прямые, ∠СОК=118°, ОК - биссектриса ∠АОD. Найти ∠ВОD.
∠КОD и ∠СОК - смежные, значит, их сумма составляет 180°.
∠КОD = 180-118=62°
∠АОК=∠КОD=62° (по определению биссектрисы)
∠АОК+∠КОD=62+62=124°
∠ВОD=180-124=56°
Пусть дан треугольник АВС, высота BD = 4. r = 18/(7 + √13).
Примем AD = x, CD = 2x.
Тогда сторона основания АС = 3х.
Боковые стороны: АВ = √(16 + х²), ВС = √(16 + 4х²).
Периметр треугольника Р = 3х + √(16 + х²) + √(16 + 4х²).
Площадь треугольника S = (1/2)*4*3x = 6x.
Отсюда выразим периметр через площадь и радиус вписанной окружности:
P = 2S/r = 12x/(18/(7 + √13)) = 12x(7 + √13)/18 = 2x(7 + √13)/3.
Приравняем:
3х + √(16 + х²) + √(16 + 4х²) = 2x(7 + √13)/3.
Решение уравнения: х = 3.
ответ: основание АС = 3*3 = 9.
