3. Даны векторы
⃗= 2i+4j
⃗ = 3i-2j
c) Найдите координаты вектора ⃗=3⃗−2 ⃗
d) Найдите длину вектора ⃗​

Площадь одной грани куба равна площади квадрата со стороной 5 см и равна 5²=25 см².

Боковая поверхность куба состоит из 4 граней, следовательно, её площадь равна 25*4=100 см²

Полная поверхность куба состоит из 6 граней, следовательно, её площадь равна 25*6=150 см²

Диагональное сечение куба представляет из себя прямоугольник, одна сторона которого равна диагонали грани куба, а другая равна ребру куба. Диагональ грани куба равна диагонали квадрата со стороной 5 см и равна 5√2 см. Следовательно, площадь диагонального сечения равна 5√2*5=25√2 см².

Построим отрезок BC длины a. Центр O описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения двух окружностей радиуса R с центрами в точках B и C. Выберем одну из этих точек пересечения и построим описанную окружность S треугольника ABC. Точка A является точкой пересечения окружности S к прямой, параллельной прямой BC и отстоящей от нее на расстояние ha (таких прямых две).

8.2.

Построим точки A1 и B1 на сторонах BC и AC соответственно так, что  BA1 : A1C = 1 : 3 и AB1 : B1C = 1 : 2. Пусть точка X лежит внутри треугольника ABC. Ясно, что SABX : SBCX = 1 :  2 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке BB1, и SABX : SACX = 1 : 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке AA1. Поэтому искомая точка M является точкой пересечения отрезков AA1 и BB1.

8.3.

Пусть O — центр данной окружности,  AB — хорда, проходящая через точку P,  M — середина AB. Тогда |AP – BP| = 2PM. Так как РPMO = 90°, точка M лежит на окружности S с диаметром OP. Построим хорду PM окружности S так, что PM = a/2 (таких хорд две). Искомая хорда задается прямой PM.

8.4.

Пусть R — радиус данной окружности,  O — ее центр. Центр искомой окружности лежит на окружности S радиуса |R ± r| с центром O. С другой стороны, ее центр лежит на прямой l, параллельной данной прямой и удаленной от нее на расстояние r (таких прямых две). Любая точка пересечения окружности S и прямой l может служить центром искомой окружности.

8.5.

Пусть R — радиус окружности S,  O — ее центр. Если окружность S высекает на прямой, проходящей через точку A, хорду PQ и M — середина PQ, то OM2 = OQ2 – MQ2 = R2 – d2/4. Поэтому искомая прямая касается окружности радиуса  

Ц

 

R2 – d2/4

 

с центром O.

8.6.

Возьмем на прямых AB и CD точки E и F так, чтобы прямые BF и CE имели заданные направления. Рассмотрим всевозможные параллелограммы PQRS с заданными направлениями сторон, вершины P и R которых лежат на лучах BA и CD, а вершина Q — на стороне BC (рис. 8.1). Докажем, что геометрическим местом вершин S является отрезок EF. В самом деле,  

SR

EC

=   PQ

EC

=   BQ

BC

=   FR

FC

, т. е. точка S