3 Дан параллелограмм ABCD, О - точка пересечения диагоналей, М - середина CD, AB = AD = Выразите через векторы а и b следующие векторы: a) АС, б) АО, в) BD г) АМ , д)MC ,e) ВM
​

1) Четырехугольник ADEC - трапеция (DE ║ AC). ∠BAC = ∠BCA ⇒ трапеция равнобедренная, значит, AD = CE = BA - BD = 6.
В трапеции ∠ВАС = ∠BCA  ⇒ и ∠ADE = ∠CED.
ΔADE = ΔCED по двум сторонам и углу между ними (AD = CE, DE - общая, ∠ADE = ∠CED).
2) AD║CF, AC║DF ⇒ ADFC - параллелограмм, значит, ∠DAC = ∠CFE.
∠ACE = ∠FEC как накрест лежащие углы при пересечении AC║DE секущей СЕ. Значит, ΔECF подобен ΔАВС по двум углам.
3) Т.к.  ΔECF подобен ΔАВС, то EF/AC = CE/BC
EF/10 = 6/13  ⇒ EF = 60/13
4) Пусть h - высота треугольника АВС, опущенная на боковую сторону.
Тогда Sabc = 13h/2 = √(p(p - a)(p - b)(p - c), где a, b, c - стороны треугольника АВС, р - его полупериметр
13h/2 = √(18 · 5 · 5 · 8)
13h/2 = √(9 · 2 · 5 · 5 · 4 · 2) = 3 · 5 · 4 = 60
h =120/13
5) AC║DF, значит, расстояние от точки А до DE  и от точки С до DF одинаковы, т.е. ΔADE и ΔDCF имеют одинаковые высоты, опущенные к основаниям DE и DF соответственно. Значит, площади этих треугольников относятся как длины этих оснований.
Sade/Sdcf = DE/DF
DF = AC = 10 как противолежащие стороны параллелограмма,
DE = DF - EF = 10 - 60/13 = 70/13
Sade/Sdcf = (70/13) / 10 = 7/13

Дано: ABC - прямоугольный треугольник            BD - высота, BD=24 см            DC=18 смНайти: cosA; AB.Решение: 1) Т.к. BD - высота, то треугольник BDC - прямоугольный. По теореме Пифагора можно найти BC:BC²=BD²+DC²BC²=24²+18²BC²=576+324=900BC=30 см.2) В треугольникеДано: ABC - прямоугольный треугольник
            BD - высота, BD=24 см
            DC=18 см
Найти: cosA; AB.
Решение: 
1) Т.к. BD - высота, то треугольник BDC - прямоугольный. 
По теореме Пифагора можно найти BC:
BC²=BD²+DC²
BC²=24²+18²
BC²=576+324=900
BC=30 см.
2) В треугольнике BDC tgC=24/18=8/6. В треугольнике ABC tgC=AB/BC. Отсюда пропорция:
8/6=AB/30
AB=8*30/6
AB=40 см
3) По теореме Пифагора находим AC:
AC²=AB²+BC²
AC²=1600+900=2500
AC=50 см.
4) cosA=AB/AC
cosA=24/50=0,48 

ответ: cosA=0,48; AB=40 см. BDC tgC=24/18=8/6. В треугольнике ABC tgC=AB/BC. Отсюда пропорция:8/6=AB/30AB=8*30/6AB=40 см3) По теореме Пифагора находим AC:AC²=AB²+BC²AC²=1600+900=2500AC=50 см.4) cosA=AB/ACcosA=24/50=0,48 ответ: cosA=0,48; AB=40 см.