Сумма двух его углов больше суммы двух других на 40° . Найдите углы параллелограмма.

Дано: пряма АС, АВ і ВС - похилі, АВ=10 см, ВС=18 см. Знайти ВН.

Маємо ΔАВС, де АВ=10 см, ВС=18 см, АС=16 см. ВН - висота.

АН - проекція АВ на АС, СН - проекція ВС на АС. Нехай АН=х см, тоді СН=16-х см.

Знайдемо ВН за теоремою Піфагора. ВН²=АВ²-АН²=100-х², або

ВН²=ВС²-(16-х)²=324-(256-32х+х²); тоді 100-х²=324-(256-32х+х²);

100-х²=324-256+32х-х²; 32х=32; х=1.

АН=1 см, СН=16-1=15 см.

Знайдем ВН из ΔАВН; ВН=√(100-1)=√99≈9,95 см.

Є простіше рішення за формулою Герона

S(ABC)=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(22*12*4*6)=√6336≈79,6.

S(ABC)=1\2 * AC * BH; 1\2 * 16 * ВН=79,6; 8ВН=79,6; ВН=9,95 см.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Следовательно, четырехугольник KLMN - параллелограмм (на всякий случай).
а) NL - медиана треугольника ВNC. Следовательно,
Sbnl=Scnl (свойство медианы).
Но Sabln=Sdcln - дано.
Значит и Sabn=Sdcn.
Треугольники АВN и DCN имеют одинаковые основания, (точка N - середина отрезка AD. Значит и высоты ВР и CQ, проведенные к этим основаниям, равны.
Перпендикуляры ВP=CQ, значит точки В и С прямой ВС находится на одинаковом расстоянии от прямой АD, то есть ВС параллельна AD,
что и требовалось доказать.
б) АВСD - трапеция (доказано выше).
КМ - ее средняя линия.
Skbcn=(1/2)(BC+KM)*h1 (площадь трапеции).
Sakmd=(1/2)(AD+KM)*h2.
Но h1=h2, так как КМ - средняя линия трапеции.
Тогда Skbcn/Sakmd=(BC+KM)/(AD+KM).
КМ=(ВС+АD)/2.
Skbcn/Sakmd=(3ВС+AD)/BC+3AD=11/17 (дано)
51ВС+17AD=11BC+33AD.
40BC=16AD.
ВC/AD=2/5.