На рисунке АD=АВ, ∠ DАС= ∠ВАС. Докажите, что ΔDАС = ΔВАС. [5]
Оформление: 1) Построить рисунок; 2) Записать дано; 3) Указать признак и три соответствующих элемента.

а)

PE ∩ AB = P₁   т.к. PE, AB ⊂ (ABC).

PE ∩ BC = E₁   т.к. PE, BC ⊂ (ABC).

P₁ и E₁ ∈ PE ⊂ (TPE)  ⇒  P₁ и E₁ ∈ (TPE).

P₁ ∈ AB ⊂ (ABS)  и  T ∈ SB ⊂ (ABS) соединяем две точке, которые лежат в одной плоскости (ABS).

P₁T ∩ SA = N ∈ (TPE)   т.к. T, P₁ ∈ (TPE).

E₁ ∈ BC ⊂ (BCS)  и  T ∈ SB ⊂ (BCS) соединяем две точке, которые лежат в одной плоскости (BCS).

E₁T ∩ SC = M ∈ (TPE)   т.к. T, E₁ ∈ (TPE).

TMEPN - нужное сечение.

б)

M, N ∈ (TPE);

M ∈ SC ⊂ (SAC) ⇒ M ∈ (SAC);

N ∈ SA ⊂ (SAC) ⇒ N ∈ (SAC).

Получается, что (TPE) ∩ (SAC) = MN

ответ: MN.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Если на диагоналях ромба от точки их пересечения отложены четыре равных отрезка, то в полученном четырехугольника получится, что диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы четырехугольника пополам (то, что делят углы пополам видно из того, что диагоналями четырёхугольник делится на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника, у которых катеты -это половина диагоналей, а гипотенуза - сторона четырехугольника; следовательно углы при гипотенузе равны по 45 градусов). Углы полученного четырехугольника - прямые. Все это относится к свойствам квадрата, значит четырёхугольник -квадрат, что и требовалось доказать.