3. В треугольнике АВС , – биссектриса треугольника АВС, см. Найдите длину отрезка . 4. В прямоугольном треугольнике АВС , АВ = 7 см, АС = 14 см. Найдите углы, которые образует высота ВН с катетами треугольника.

По условию МК-перпендикуляр, значит < АКМ = < ВКМ =90°, также < ВСА=90°. Если рассмотреть четырехугольник ВСМК, то в нем сумма противоположных углов < ВСМ + < ВКМ=90+90=180°, и другие противоположные углы < КВС + < КМС=360-180=180° (сумма углов четырехугольника равна 360°). Следовательно этот четырехугольник можно вписать в окружность (суммы его противоположных углов равны 180°). Углы МКС и МВС являются вписанными в окружность и опирающимися на одну дугу МС, значит эти углы равны.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник СНВ. Здесь катет СН равен половине гипотенузы ВС (СН=1/2CD, СD=BC как стороны ромба). Используем свойство прямоугольного треугольника: если катет прямоугольного треуг-ка равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Значит
<CBH=30°
Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, находим угол С:
<C=90-<CBH=90-30=60°, что и требовалось доказать.

2. ВМ=АВ-AM, CL=BC-BL, DP=CD-CP, AQ=AD-DQ, но
АМ=BL=СР=DQ по условию, а АВ=BC=CD=AD как стороны квадрата. Значит
ВМ=CL=DP=AQ
Прямоугольные треугольники MAQ, LBM, PCL и QDP равны, таким образом, по двум сторонам и углу между ними (углы А, B, C, D - прямые, АМ=BL=СР=DQ по условию, ВМ=CL=DP=AQ как только что доказано). У равных треугольников равны и соответственные стороны MQ, LM, LP и PQ. Значит, MLPQ-квадрат.