из точки о принадлежащей биссектрисе bm треугольника abc, проведены перпендикуляры ok и of соответственно к сторонам ab и ac. докажите, что если ok=of, то точка o центр окружности, вписанной в треуголник abc
АК должно проходить через точку Н SH -высота пирамиды, Так как все грани наклонены под одинаковым углом к основанию, то Н- центр вписанной окружности. Проведем SK перпендикулярно ВС. По теореме о трех перпендикулярах НК тоже перпендикулярно ВС. Угол SKH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью и пл. основания и поэтому угол SKH=60 НК одновременно будет радиусом вписанной окружности треугольника АВС. Плоскость SHK перпендикулярна ВС и следовательно грани SBC, поэтому шар будет касаться грани SВС в точке принадлежащей SK. Пусть центр шара - точка О Сделаем выносной чертеж плоскости SHK. ОМ перпендикулярно SK ОМ=OH=R. М - точка касания шара и боковой грани. MO1 перпендикулярно SH. O1M это будет радиус окружности, проходящей через точки касания. ОК является биссектрисой угла SKH=> угол OKH=30 Из треугольника ОНК: ОН/НК=tg30, HK=R*sqrt(3) HK/SK=cos60 => SK=2Rsqrt(3) (или катет против угла в 30 градусов) -апофема бококвой грани найдена. Одновременно мы нашли и КМ=НК=R*sqrt(3). Значит SM=R*sqrt(3) А тогда из подобия треугольников SMO1 и SKH следует, что O1M=(1/2)HK=(R*sqrt(3))/2 Тогда длина окружности проходящей через точки касания равна 2*pi*(R*sqrt(3))/2...
