Кут MВD дорівнює 43º. Із точок M і D усередині кута проведено промені, які паралельні сторонам кута й перетинаються в точці O. Знайдіть кут MOD

>>> идёт оформление рисунка <<< ожидайте ...

Задача решается через векторы.
Построим вектор ;

Середина D отрезка AB может быть найдена откладыванием половины вектора от точки A

;

Итак D( -9+4, 10-3 ) = D( -5, 7 ) ;

От точки D нужно отложить вектор высоты в обе возможные стороны

Вектор высоты перпендикулярен вектору основания , а значит его проекции накрест-пропорциональны с противоположным знаком:

(I) , что непосредственно следует из скалярного произведения, поскольку для перпендикулярных векторов должно выполняться: (II) ;

Таким образом вектор пропорционален вектору , поскольку для вектора выполняется и равенство (I) и равенство (II) осталось лишь найти масштаб вектора ;

Вектор имеет длину ;

Аналогично, AB = 10

При этом, поскольу треугольник равносторонний, то значит его высота составляет , т.к ;

Значит , а стало быть ;

В итоге .

Откладываем этот вектор в разные стороны (+\-) от точки D( -5, 7 ) и получаем:

ОТВЕТ:

/// примечание: ;

/// примечание: .

АВСD - параллелограмм.∠А=60°, BD=7 . P=22.
1 .Cтороны АВСD  обозначим через а  и  b . Тогда  Р=11  ⇒ Р = 2 (а+b)  ⇒ (a+b) =11   ⇒  a= 11- b 
2.Δ ABD  По  теореме косинусов  BD²=AB²+AD²-2·AB·AD·cos ∠A  ⇒
7²=b²+a²-2·b·a·cos 60°   ⇒   49= b²+(11-b)² -2·b·(11-b)·1/2     ⇒
   49= b²+121 -22·b+b²-2·b (11-b)·1/2
   49=2b²-22·b+121-11b+b²
3b²-33b+72=0   ⇒   b²-11 b+ 24 =0  ⇒  D=√(-11)²-4·1·24=√121= 96=√25=5
b1=(11-5)/2 = 6/2= 3    ;  b2= (11+5)/2=16/2= 8
Если в=3 , то  а = 11-3 = 8
Если  в = 8 , то  а = 11 - 8 т= 3
                                                               ответ 3 ,  8