Ортоцентр H треугольника ABC отразили относительно сторон и получили точки A₁, B₁ и C₁. Найдите углы треугольника A′B′C′, если ∠A=50∘, ∠B=75∘.
Объяснение:
По свойству ортоцентра : "Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности". Значит все точки А, В, С,A₁, B₁ , C₁-лежат на окружности.
1)ΔАВМ -прямоугольный ,∠А=50°⇒ ∠АВМ=90°-50°=40° . Значит ∠МВС=75°-40°=35° .Поэтому дуги ∪ АВ₁=80° и ∪ В₁С=70° по т. о вписанном угле.
2)ΔАСР -прямоугольный ,∠А=50°⇒ ∠АСР=90°-50°=40° . Значит ∠РСВ=55°-40°=15° .Поэтому дуги ∪ АС₁=80° и ∪ С₁В=30° по т. о вписанном угле.
3)ΔАВК -прямоугольный ,∠В=75°⇒ ∠ВАК=90°-75°=15° . Значит ∠САК=50°-15°=35° .Поэтому дуги ∪ СА₁=70° и ∪ А₁В=30° по т. о вписанном угле.
)ΔА₁В₁С₁ , по т. о вписанном угле : ∠А₁=1/2*(80°+80)°=80° ,∠В₁=1/2*(30°+30)°=30° , ∠С₁=1/2*(70°+70)°=70°.
Даны треугольники АВС и А1В1С1 в которых стороны АС и А1С1, высоты ВН и В1Н1 и медианы ВМ и В1М1 равны.
Прямоугольные треугольники НВМ и Н1В1М1 равны по 4-му признаку равенства, так как у них гипотенузы (ВМ и В1М1) и катеты (ВН и В1Н1) равны (дано). => HM=H1M1 и <BMH=<B1M1H1. Значит равны и углы ВМС и В1М1С1 как смежные с равными.
АМ=МС=А1М1=М1С1 как половины равных отрезков АС и А1С1.
Треугольники АВМ и А1В1М1 равны по двум сторонам (АМ=А1М1, ВМ=В1М1) и углу между ними (<BMH=<B1M1H1 - доказано выше) => АВ = А1В1.
Треугольники ВМС и В1М1С1 равны по двум сторонам (МС=М1С1, ВМ=В1М1) и углу между ними (<BMС=<B1M1С1 - доказано выше) => ВС = В1С1.
Тогда треугольники АВС и А1В1С1 равны по трем сторонам, что и требовалось доказать.
