78 (единиц)
Пошаговое объяснение:
Дано (см. рисунок):
Окружность радиуса R
AB=50 – длина первой хорды
OM=60 – расстояние от центра O окружности до хорды AB
ON=52 – расстояние от центра O окружности до хорды CD
Найти: x=CD – длину второй хорды
Решение.
Так как OA=OB=OC=OD и равны радиусу R окружности, то получаем равнобедренные треугольники OAB и OCD. По условию, расстояние от центра O окружности до хорды AB, то есть длина отрезка OM, перпендикулярного к отрезке AB, равно 60. Точно также, расстояние от центра O окружности до хорды CD, то есть длина отрезка ON, перпендикулярного к отрезке CD, равно 52.
Но, по свойству равнобедренных треугольников, перпендикуляры OM и ON к основанию равнобедренных треугольников, соответственно, OAB и OCD является высотой, медианой и биссектрисой. Тогда медианы OM и ON делят, соответственно, основание равнобедренных треугольников OAB и OCD пополам. Отсюда получаем:
1) длина MB=50:2=25 и длина ND=x:2;
2) треугольники OMB и OND прямоугольные с гипотенузой, равной радиусу R.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику OMB и находим R:
R² = OM²+MB² = 60²+25² = 3600+625 = 4225 = 65² или R=65.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику OCD:
R² = ON²+ND² = 52²+(x:2)² или
(x:2)² = R²–52² = 65²–52² = 4225–2704 = 1521 = 39² или
x:2 = 39.
Отсюда CD=x=39·2 = 78 (единиц).
