Пусть основание АВ, вершина, из которой проведены медиана и высота - С, середину АВ обозначим М, основание высоты К (СК - высота к АВ). Опишем вокруг АВС окружность и продлим СМ и СК до пересечения с ней. Пусть это точки, соответственно Е для СМ и Р для СК.
Мы знаем, что дуги АЕ и ВР равны.
Поэтому ЕР II AB
=> ЕР перпендикулярно СР,
=> EC - диаметр,
и => М - центр окружности. В самом деле, АМ = МВ, но АВ не перпендикулярно ЕС, а это возможно, только если М - цетр окружности (можно указать на равенство СК и КР, поэтому СМ = МС, и опять - М - центр)
Итак ,мы имеем ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник АВС, угол АСВ = 90 градусов.
Из равенства дуг СВ и ВР (мы уже ДОКАЗАЛИ, что АВ - диаметр, пепендикулярный СР) следует, что угол СЕР в 2 раза больше ВСК,
то есть если считать угол ВСК = 5*х, то
угол ЕСР = 8*х, угол СЕР = 10*х.
Но угол ЕСР + угол СЕР = 90 градусов, откуда х = 5 градусов, угол САВ = угол КСВ = 5*х = 25 градусов, угол КВС = 90 - 25 = 65 градусов.
ответ углы треугольника 25, 65 и 90 градусов.
△АВС и △DEF.
AB = DE
BC = EF
∠BAC = ∠EDF
Найти:дополнительное условие, при котором △АВС = △DEF
Решение:Обратим внимание, почему изначально △АВС не равен △DEF:
Если две стороны и угол МЕЖДУ ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу МЕЖДУ ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
К ∠ВАС прилежит только 1 сторона, а именно АВ. А сторона ВС к этому углу вообще никак не относится.
Тоже самое и с ∠EDF: к нему прилежит только сторона DE, а EF к нему вообще никак не относится.
Поэтому эти треугольники с изначальными условиями не равны.
Начнём рассматривать приусловия по порядку:
1. ∠ВАС - острый.=> ∠EDF тоже острый, так как ∠ВАС = ∠EDF, по условию.
Но это нам ничего не даёт.
Всё по прежнему остаётся на своих местах, то есть мы не сможем доказать равенство этих треугольников.
2. ∠ВАС - прямой.=> ∠EDF тоже прямой, так как ∠ВАС = ∠EDF, по условию.
И это многое нам даёт.
Во-первых, △АВС и △DEF - прямоугольные.
Рассмотрим эти треугольники:
АВ = DF, по условию.
ВС = EF, по условию.
=> △АВС = △DEF, по катету и гипотенузе
У прямоугольных треугольники с другие признаки равенства.
3. ВАС - тупой.Мы знаем, что тупоугольный треугольник = 1 тупой угол + 2 острых угла.
Но нас ничего не даёт, для того, чтобы доказать равенство треугольников.
4. ∠ВСА - острый.Но это нам ничего не даёт, так как ∠ВСА не равен ∠EFD, по условию.
Просто ∠ВСА - острый, а ∠EFD может быть тупым или может даже прямым.
5. ∠ВСА - прямой.Во-первых, мы не сможем доказать равенство, так как нам не сказано, что ∠ВСА = ∠EFD.
Во-вторых, нам не сказано, что ∠EFD - прямой.
=> ∠EFD совершенно любым.
6. ∠ВСА - тупой.Но это нам ничего не даёт, так как ∠ВСА не равен ∠EFD, по условию.
Просто ∠ВСА - тупой, а ∠EFD может быть острым или может даже прямым.
7. АВ > ВС.Это нам, опять же, ничего не даёт.
8. АВ < ВСАВ < ВС, но это нам ничего не даёт.
Всё по прежнему останется.
ответ: 2).
