R = 10см; R/h = 1/2
Объяснение:
Площадь полной поверхности цилиндра
S = 2πR² + 2πRh = 2πR(R + h) = 1884
Сокращаем на 2π = 6,28 и получаем R(R + h) =300
или R² + Rh = 300
Обозначим х = R и у = Rh
Тогда у = 300 - х²
При условии максимального объёма цилиндра
V = πR²h = π · R · Rh = π · x · y, то есть следует искать максимум функции
f(x) = x·у
f(x) = х · (300 - х²)
f(x) = 300x - x³
f'(x) = 300 - 3x²
f'(x) = 0
300 - 3x² = 0
x² = 100
x = 10(см)
Итак, R = 10см
y = Rh = 300 - 10² = 200
h = Rh/R = 200/10 = 20 (см)
Отношение R/h = 10/20 = 1/2
1) Объём конуса V = (1/3)π*R²*h, где R и h - радиус основания и высота конуса.
По теореме Пифагора, R² + h²=L², откуда R² = (L²- h²) м².
Тогда V = (π*( L² - h²)*h)/3 = (π/3)*( L²*h - h³) м³.
Производная V'(h) = (π/3)*( L² - 3h²).
Приравнивая её к нулю, приходим к уравнению (π/3)*( L² - 3h²) = 0.
Нулю приравниваем второе выражение в скобках.
Отсюда находим h = √(( L²)/3) = L/√3 = 28,2/√3 ≈ 16,28128 см.
Так как значение h положительно, то найденная точка h= (L/√3) является точкой максимума функции V(h).
Подставим значение h= (L/√3) в уравнение объёма:
V = (π/3)*( L²*(L/√3) - (L/√3)³) = (2πL3)/(9√3).
Значение Vmax = (2π*28,23)/(9/√3) ≈ 9039,0764 cм³.
ответ: 9039,0764 cм³.
2) Площадь бака S = πR² + 2 πRh.
Выразим h через объём: V= πR²h, откуда h = V/πR².
Заменим h в формуле площади:
S = πR² + 2πR(V/πR²) = πR² + (2V/R).
Находим производную функции площади по R²:
S’ = 2πR - (2V/R2) и приравниваем нулю.
2πR + (2V/R2) = 0, откуда находим R = ³√(V/π) = ³√(17,576π/π) = 2,6 см.
ответ: S = (π*2,62) + (2*17,576π/2,6) = 63,7115 кв.ед.
